Таблиця істинності кон'юнкції. Таблиця істинності нестрогої (слабкої) диз'юнкції. Таблиця істинності строгої (сильної) диз'юнкції. Таблиця істинності імплікації. Таблиця істинності еквіваленції. Таблиця істинності заперечення
Знаки логічних сполучників:
Технічні знаки:
Перелічені знаки - знаки пропозиційних змінних, логічних сполучників і технічні знаки - становлять собою алфавіт логіки висловлювань, або пропозиційної логіки.
Що таке формула логіки висловлювань?
По-перше, будь-яка пропозиційна змінна є формулою логіки висловлювань.
По-друге, якщо F і F є формулами логіки висловлювань, то формулами будуть і "FAFJ", "FVFJ", "FyFj", "F-tFj" "F-t-Fj".
По-третє, якщо F є формулою логіки висловлювань, то F також буде формулою.
Послідовність знаків "Av", "wl", "vAv", "AB" не є формулами логіки висловлювань подібно до аналогічних виразів у математиці.
Щоб "перекласти" вираз природної мови на мову логіки висловлювань, необхідно:
Наприклад: "Почалася сесія, і роботи додалося" - (АлВ); "Якщо чотирикутник має попарно паралельні сторони і прямі кути, то він є прямокутником" - (АлВ) С.
Логіка висловлювань дає можливість на підставі знання логічного значення (істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності логічних зв'язок робити висновок про логічне значення складних висловлювань. Щоправда, існують випадки, коли істиннісне значення складних висловлювань залежить від таблиць істинності логічних зв'язок і зовсім не залежить від істинності чи хибності простих висловлювань.
Щоб навчитися визначати логічне значення складних висловлювань, розглянемо таблиці істинності логічних зв'язок, які, до речі, є вичерпною характеристикою цих зв'язок, яка не йде ні в яке порівняння з посиланням на їх аналогію з граматичними сполучниками.
Таблиця істинності кон'юнкції
А В АлВ
і і і
і X X
X і X
X X X
З таблиці видно, що кон'юнкція істинна лише тоді, коли всі кон'юнкти істинні (всі, а не два, бо їх може бути й більше). В усіх інших випадках кон'юнкція хибна. Так, кон'юнктивне судження "Всі ромби мають рівні сторони і взаємно перпендикулярні діагоналі" істинне, а судження "Всі ромби мають рівні сторони і кути" хибне.
Нестрога диз'юнкція є хибною лише тоді, коли всі диз'юнкти хибні. В усіх інших випадках вона є істинною.
Наприклад:
Таблиця істинності нестрогої (слабкої) диз'юнкції
А В AvB
і і і
і X і
X і і
X X X
Перше диз'юнктивне висловлювання є хибним, оскільки обидва диз'юнкти (члени диз'юнкції) є хибними. Новий Лондон знаходиться не в Австралії і не в Канаді, а в двадцять другому штаті США — штаті Коннектикут.
Друге і третє висловлювання істинні, бо в другому висловлюванні обидва диз'юнкти є істинними, а в третьому - один, перший.
Таблиця істинності строгої (сильної) диз'юнкції
А В AvB
і X
і X і
X і і
X X X
Строга диз'юнкція є істинною тоді, коли один і лише один диз'юнкт є істинним. В іншому разі вона буде хибною.
Наприклад:
Перше висловлювання є істинним, бо будь-який кут неодмінно належить до одного і тільки одного з названих різновидів. А друге висловлювання може виявитися як істинним (за умови, що його автор відпочиватиме в зазначений час в одному і тільки в одному з названих міст), так і хибним (коли його автор відпочиватиме "цього літа" в обох названих містах або не відпочиватиме в жодному з них).
Таблиця істинності імплікації
А В А->В
і і і
і X X
X і і
X X і
Імплікація є хибною лише тоді, коли антецедент (перша частина імплікації) є істинним, а консеквент (друга частина імплікації) - хибним. В усіх інших випадках імплікація є істинною.
Наприклад: "Якщо робітник старанно працює, то він своєчасно одержує платню". Це висловлювання буде хибним лише за умови, коли перше судження ("Робітник старанно працює") є істинним, а друге ("Він своєчасно одержує платню") - хибним.
Еквівалентне висловлювання є істинним за умови, коли обидві його складові є одночасно або істинними, або хибними.
Таблиця істинності еквіваленції
А В А<н>В
і і іі X XX і X
X X і
Наприклад: "Якщо ця геометрична фігура - прямокутник, то вона є паралелограмом з прямими кутами". Це висловлювання буде істинним лише за умови, що обидві його частини матимуть однакове логічне значення, тобто будуть або одночасно істинними, або одночасно хибними.
Таблиця істинності заперечення
А А
і X
X і
Заперечення перетворює істинне висловлювання на хибне, а хибне - на істинне. Наприклад:
"Відень - столиця Австрії";
"5x5 = 50".
Вдавшись до операції заперечення, ми перетворимо істинне висловлювання на хибне ("Хибно, що Відень - столиця Австрії), а хибне - в істинне ("Хибно, що 5 х 5 = 50").
Дата публікації: 21.10.2011