Термін "логічний вивід" використовується у широкому і вузькому значеннях. У широкому значенні поняття "логічний вивід" ототожнюється з поняттям умовиводу, до якого включають і власне вивід (логічний)
Один з найновіших словників з логіки дає таке визначення: "Вивід логічний - міркування, в ході якого з яких-небудь суджень - засновків - з допомогою логічних правил одержують висновок - нове судження". Це визначення повністю збігається з визначенням умовиводу. Про це свідчить і приклад, яким ілюструється цитоване визначення: "Всі люди смертні. Кай - людина. Кай смертний".
Часте ототожнення виводу з умовиводом пояснюється їх подібністю. І умовивід, і логічний вивід є міркуваннями, будуються вони відповідно до певних логічних правил, містять засновки і висновки, дають змогу одержувати так зване вивідне знання. Проте між ними існує й істотна відмінність. Якщо умовивід - це справжнє, змістовне міркування, то логічний вивід нагадує своєрідну гру "... з символами, коли можна комбінувати символи у відповідності з правилами, з'єднувати їх, роз'єднувати тощо".
Правила, відповідно до яких будується логічний вивід, є строго однозначно визначеними, що не завжди можна сказати про правила умовиводів. Засновками і висновком умовиводу є судження, виражені засобами природної мови, а засновками і висновком виводу є безструктурні, позначені символами прості висловлювання, формули і навіть схеми формул (до речі, висновок тут називається вивідною формулою). Назвати вивідну формулу знанням можна хіба що умовно, оскільки вона набуває смислу тільки після відповідної інтерпретації.
Вивід - послідовність висловлювань, формул або схем формул, яка утворюється з аксіом, засновків і теорем (раніше доведених формул), остання формула якої (послідовності) виведена з попередніх формул за правилами відповідної формально-логічної теорії.
Логічний вивід у логіці висловлювань є одним з видів числення. Оскільки кожна формальна система має власні аксіоми і правила виводу, то в кожній з них вивід носить специфічний характер. Особливо ефективними є виводи в системі логіки висловлювань, насамперед в системі натурального виводу. Процес міркування, одержання істинних висновків у них ґрунтується не на застосуванні конкретних за змістом засновків і навіть не на зв'язках між обсягами термінів у середині простих суджень (між суб'єктом і предикатом) та обсягами термінів різних простих суджень (як у силогізмі), а на характері логічних зв'язків між висловлюваннями, врахуванні лише логічного значення (істинності чи хибності) останніх та коректному застосуванні до них правил виводу.
Формалізувавши (в даному випадку - переклавши на мову логіки висловлювань) вихідні судження, судження-засновки, можна алгоритмізувати процес виведення із засновків необхідного й істинного висновку, який, будучи перекладеним на природну мову, фігуруватиме як розв'язання відповідної задачі.
Найважливішими характеристиками виводу логіки висловлювань є:, по-перше, сумісність його засновків і висновку, їх несуперечливість, а по-друге, та обставина, що кожен закон ("завжди істинне" висловлювання) в цій формальній системі піддається обґрунтуванню. 'Натуральним цей вивід називають тому, що він будується способом, близьким до того, яким ми звичайно користуємось у неформальних доведеннях.
Мова й основні правила виводу логіки висловлювань
Правило виводу - своєрідний трафарет, шаблон, припис, що визначає перехід від засновків до висновку-наслідку, вказуючи, яким чином висловлювання, істинність яких відома, можна видозмінювати, щоб одержати нові істинні висловлювання.
Пропонують і таке формулювання правил виводу: "Правила виводу - це способи логічного переходу від засновків до висновку, які задають правила введення і усунення логічних сполучників".
Правило введення кон'юнкції (ВК):
Згідно з цим правилом істинні висловлювання завжди можна з'єднувати знаком кон'юнкції. У найпростішому випадку це правило записується так:-, що
АлВ означає: якщо висловлювання А, В поодинці істинні,
то істинна і їх кон'юнкція - АлВ. Наприклад: Тарас Шевченко - геніальний поет (А). Тарас Шевченко - талановитий живописець (В).
Тарас Шевченко - геніальний поет і (він же) талановитий живописець (АлВ).
Одержаний висновок є істинним, чого не скажеш, наприклад, про складне висловлювання (кон'юнкцію) "Тарас Шевченко - геніальний поет і живописець", оскільки ознака геніальності в цьому висловлюванні стосується Шевченка і як живописця.
Цей приклад не можна вважати типовим, оскільки суб'єктами простих суджень (кон'юнктів) далеко не завжди виступає одне й те ж поняття. Приклад, як правило, адресується буденній свідомості, здоровому глузду. Тому "типовіші" приклади, що ілюструють правила введення кон'юнкції, здадуться непереконливими для здорового глузду. Скажімо, ""Сім" - просте число, і Київ - столиця України" (АлВ).
Правило усунення кон'юнкції (УК):
Це правило дозволяє з кон'юнкції висловлювань виводити будь-яке висловлювання, що є її кон'юнктом.
Наприклад:
У скоєнні цього злочину брали участь А і В (АлВ). У скоєнні цього злочину брав участь А (А).
Правило введення диз'юнкції (ВД): A, vA, v... vA
Це правило дозволяє до істинного висловлювання приєднувати з допомогою диз'юнкції (нестрогої) інші висловлення. Оскільки ж нестрога диз'юнкція є істинною за умови істинності принаймні одного диз'юнкта, то звідси випливає висновок, що логічне значення приєднуваних диз'юнктів не впливає на утворену диз'юнкцію: вона завжди буде істинною.
Наприклад:
О. Пушкін - геніальний поет.
Пушкін - геніальний поет або живописець.
Правила усунення диз'юнкції (УД)
Правило усунення строгої диз'юнкції:
Усунення строгої диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:
Правило усунення нестрогої диз'юнкції:
Логічний вивід і проблема розв'язання
Усунення нестрогої диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:
У традиційній логіці правило усунення диз'юнкції відповідає схемі розділово-категоричного умовиводу.
Правило введення імплікації (ВІ):
Згідно з таблицею істинності імплікації за умови істинності консеквента вона завжди є істинною. Дати переконливу змістовну інтерпретацію цього правила, мабуть, неможливо.
Правило дедукції є одним із різновидів введення імплікації:
Читається це правило так: "Якщо з гамми засновків Г і формули А можна вивести формулу В, то із засновків Г випливає формула А-+В.
Правило усунення імплікації (УІ):
Це правило дозволяє за наявності істинного антецедента виводити відповідний консеквент, а за наявності заперечення консеквента - переходити до заперечення антецедента.
Правило введення еквіваленції (BE): А->В В-+А А<->В '
Імплікація А-+В означає, що А є достатньою, але не необхідною підставою стосовно В, а В є необхідною, проте недостатньою умовою істинності А. Аналогічно можна охарактеризувати й імплікацію В->А, орієнтуючись на її складові (антецедент і консеквент), а не на буквене їх позначення. За умови істинності А->В і В-> ->А з цих даних можна вивести еквіваленцію А<->В, в якій виражається взаємна необхідність і достатність А і В.
Наприклад:
Якщо трикутник рівносторонній, то він рівнокутний (А->Б).
Якщо трикутник рівнокутний, то він рівносторонній (В->А).
Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли він рівнокутний (А<->В).
Правило усунення еквіваленції (УЕ):
З цього правила випливають такі висновки:
Про правильність перелічених висновків свідчить таблиця істинності еквіваленції, згідно з якою логічне значення її правої і лівої частин збігається: і<->і; х--х.
Існують й інші правила виводу, котрі часто виділяють в окрему групу: "... в логіці висловлювань існують також правила перетворення суджень, які задаються відповідними рівносильностями (їх ще називають правилами еквівалентної заміни).
Знак "=", що з'єднує дві частини кожної формули, які наводяться нижче, означає логічну тотожність цих частин за будь-яких значень пропозиційних змінних (що можна перевірити, склавши для них таблиці істинності).
Ці рівносильності служать алгоритмами правомірної трансформації структури логічних виразів, а також правилами переходу до виразів з іншими логічними сполучниками" [15].
Поняття "рівносильність" (=) тотожне поняттю "еквівалентність" (<-"), хоча є деякі підстави для їх розрізнення. Так, у формулах рівносильностей "=" є головним логічним знаком, тобто таким, що застосовується останнім при побудові формули. Іноді рівносиль-ність невиправдано ототожнюють з рівнозначністю: "Рівнозначність - поняття математичної логіки. Іноді в математичній логіці використовується як синонім відношення рівносильності між формулами, а іноді як синонім операції еквівалентності".
Проте, два висловлювання лише тоді є рівнозначними, якщо вони можуть бути одержаними з рівносильних формул А і Б в результаті заміни всіх змінних, які до них входять, конкретними висловлюваннями.
Різні автори називають різну кількість основних рівносильностей, на яких ґрунтуються правила перетворення висловлювань, їх еквівалентної заміни. Так, П. С Новіков до найважливіших відносить лише 13 рівносильностей, а автори "Формальної логіки" - кілька десятків.
Ось які рівносильності називає П. С. Новіков:
Автори "Формальної логіки" називають півсотні рівносильностей, більшість яких вважають основними. При цьому вони зазначають, що основні рівносильності містять "... схеми формул і належать до нескінченної множини рівносильних одна одній формул логіки висловлювань відповідного виду".
Ось ці 50 рівносильностей:
Рівносильність кожної з наведених схем формул можна обґрунтувати шляхом побудови відповідних таблиць істинності, до яких ми зверталися, визначаючи, яким є те чи інше складне висловлювання, - "завжди істинним" (законом логіки), "завжди хибним" (суперечністю) чи виконуваним (невизначеним).
Перевіримо з допомогою відповідних таблиць істинності рівносильність, скажімо, формул AV (BAC) І (AVB) A (AVC), даних у переліку рівносильностей під номером 6.
А В с ВлС AV (BAC)
і і і і
і і X X
і X і X
і X X X
X і і і
X і X X X
X X і X X
X X X X X
Оскільки в даних таблицях логічне значення (істинність чи хибність) формул (AV (BAC)) І ((AVB) A (AVC)) збігається (порівняйте останні стовпчики таблиць), то вони є рівносильними: AV (BAC) Ш (AVB) A (AVC).
Коротко охарактеризуємо перелічені рівносильності.
Перша рівносильність (А =А) означає, що подвійне заперечення будь-якрї формули рівносильне самій цій формулі: формула А істинна тоді, коли істинною є формула А, і хибна, коли хибною є формула А. Прикладом цієї рівносильності є рівнозначність висловлювань "Хибно, що 5 не є простим числом" і "5 - просте число".
Рівносильності 2 і 3 — (АлВ) щ (ВлА) і Ал (ВлС) = = (АлВ) лС - свідчать про комутативність й асоціативність кон'юнкції, а рівносильності 4 і 5 - (AvB) m = (BvA) і Av (BvC) = (AvB) vC - про комутативність та асоціативність диз'юнкції. Оскільки ці рівносильності досить прості, то навряд чи потрібна ілюстрація їх прикладами.
Рівносильності 6, 6', 7 і 7' - AV (BAC) * (AVB) A A (AVC), (BAC) VA Ш (AVB) A (AVC), AA (BVC) Ш (AAB) V V (AAC), (BVC) AA = (AAB) V (AAC) - свідчать про дистрибутивність диз'юнкції стосовно кон'юнкції і дистрибутивність кон'юнкції щодо диз'юнкції.
Прикладом рівносильності б може бути рівнозначність висловлювань "У вчиненні цього злочину брав участь І. або П. з С." і "У вчиненні цього злочину брав участь принаймні один підозрюваний з обох пар: І. або П. і І. або С".
Ілюстрацією рівносильності 7 є рівнозначність таких висловлювань: "Причиною отруєння є споживання першої страви і принаймні однієї з двох інших - другої або третьої" і "Причиною отруєння є споживання першої і другої страв або першої і третьої".
Рівносильності 8 і 9 - (АлА) = А і (AvA) = А - є законами ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції.
Рівносильності 10 і 11 - (АлВ) = (AvB) і (AvB) = = (АлВ) - називаються законами де Моргана. Прикладом рівносильності 10 є рівнозначність висловлювань "Хибно, що ця геометрична фігура є квадратом і що вона водночас має гострі кути" і "Ця геометрична фігура не є квадратом або вона не має гострих кутів".
Прикладом рівносильності 11 є рівнозначність висловлювань "Хибно, що він навчався на філософському чи історичному факультеті" і "Він не навчався ні на філософському, ні на історичному факультеті".
Приклад рівносильності 12 - (АлВ) = (А->В,): "Цей трикутник є рівностороннім і рівнокутним" і "Хибно, що коли трикутник є рівностороннім, то він не є рівнокутним".
Приклад рівносильності 13 - (А->В) = (AvB): "Якщо цей предмет металевий, то він електропровідний" і "Цей предмет не є металевим або він електропровідний".
Приклад рівносильності 14- (АлВ) = (AvB): "Ромб має рівні і попарно паралельні сторони" і "Хибно, що в ромба сторони не є рівними або не попарно паралельними". _ _
Приклад рівносильності 15 - (AvB) = (АлВ): "Цей кут є прямим або тупим" і "Хибно, що цей кут не є ні прямим, ні тупим".
Рівносильність 18 - (AvB) л (AvB) = В - називається законом виключення; рівносильності 19 і 20 - Ал (АВ) = А; Av (AлB) =А - законами поглинання; рівносильності 21 і 22_- (А\€) л (В\€) =_ (А\€) л (В\€ v (AvB); (AAC) V (ВЛС) = (АлС (BлC) v (AлB) - законами виявлення.
Рівносильності 23-27 є похідними від перерахованих рівносильностей 1-22.
Вдаючись до рівносильностей 1-27 і правил заміни, виводять рівносильності 28-34.
Особливе місце належить у системі виводу рівносильним формулам, до складу яких входять "завжди істинні" або "завжди хибні" підформули. Зрозуміло, що всі "завжди істинні" формули рівносильні одна одній. Це стосується і "завжди хибних" формул: вони теж рівносильні між собою. Згідно з таблицею істинності заперечення, заперечення "завжди істинної" формули є "завжди хибною" формулою, і навпаки. Так, оскільки формула А \/ІГ "завжди істинна", то формула AvA є "завжди хибною" (або: оскільки формула АлА "завжди хибна", то її заперечення АлА є "завжди істинною" формулою).
Позначивши буквою "і" "завжди істинну" формулу, а буквою "х" "завжди хибну", одержують рівносильності 43-50'.
Логічний вивід будується на таких засадах. На будь-якому кроці побудови виводу можна дописати до послідовності формул:
Якщо засновки є повними, тобто достатніми для одержання однозначного висновку, і несуперечливими, то одне із суперечних припущень призведе до суперечності (що дає підставу вважати його неспроможним), а друге - до несуперечливого шуканого висновку. Якщо ж засновки суперечливі, то в обох випадках ми прийдемо до суперечності, що буде достатньою підставою для того, щоб вважати хибними принаймні деякі засновки. І, нарешті, коли засновки є несуперечливими, але неповними, то з обох суперечних припущень будуть випливати різні висновки, які разом з тим не ведуть до суперечливості сам вивід.
Розглянемо названі ситуації на прикладах.
Дано чотири засновки, з яких потрібно вивести висновок:
Перший хід міркування:
Другий хід міркування:
Як бачимо, з обох суперечних припущень одержані суперечливі наслідки, що свідчить про суперечність засновків.
Розглянемо іншу ситуацію. Дано чотири засновки, з яких потрібно зробити висновок:
Перший хід міркування:
Другий хід міркування:
Оскільки жодне із суперечних припущень не призвело до суперечності міркування, то звідси випливає висновок: засновки потребують доповнення.
До припущень вдаються не завжди, а лише тоді, коли без них не можна зробити черговий крок логічного виводу (іноді припущення дає можливість скоротити шлях розв'язання задачі).
Якщо нам дано засновки:
то немає потреби вдаватися до припущення, оскільки четвертий засновок містить пряму інформацію про С і D.
А якщо без припущення не можна обійтися, то яку ж змінну треба вибирати як припущення? Ту, з якої можна вивести якомога більше наслідків. Так, маючи засновки:
з яких потрібно зробити висновки, ми змушені брати за припущення С, оскільки саме воно дає можливість вивести найбільше висновків. Інші припущення тут неефективні: припущення В дає можливість одержати лише один висновок -С, а припущення А - жодного:
Щоб застосувати теорію логічного виводу у розв'язанні практичних задач, потрібно послідовно здійснити кілька операцій. Наприклад, у нас є такі дані:
Коло підозрюваних у скоєнні злочину обмежується чотирма особами: Івановим, Петровим, Сидоровим, Федотовим.
1. Іванов міг брати участь у скоєнні злочину тоді і тільки тоді, коли до цього злочину причетний і Петров.
2. Якщо до цього злочину не причетний Сидоров, то в ньому брав участь Федотов.
3. Відомо, що один і тільки один із підозрюваних Іванов або Сидоров - причетні до цього злочину.
4. Федотов довів своє алібі.
Насамперед потрібно виділити прості судження з цього тексту і позначити їх пропозиційними змінними.
Ось ці судження:
1. Іванов брав участь у скоєнні злочину (А).
2. Петров брав участь у скоєнні злочину (В).
3. Сидоров брав участь у скоєнні злочину (С).
4. Федотов брав участь у скоєнні злочину (£>). Після цього слід виділити логічні зв'язки, які є в цьому тексті (і відповідно їх розставити): <-", -, ->, у.
Поєднавши пропозиційні змінні (А, В, С, D) відповідними логічними термінами (зв'язками), одержимо такі висловлювання:
Оскільки в нас є пряма інформація про алібі Федотова - D, то немає потреби вдаватися до припущення. Далі вивід будуємо так:
Залишається лише зробити переклад одержаного висновку на природну мову: "Ні Федотов, ні Іванов, ні Петров не причетні до скоєння злочину. Злочин скоїв Сидоров".
Дата публікації: 19.10.2011