Нужно ли подтверждать эквивалентность российского аттестата?

«Аттестат о среднем (полном) общем образовании и диплом о начальном профессиональном образовании (с получением среднего общего образования), выдаваемые в Российской Федерации, и аттестат о полном общем среднем образовании, выдаваемый в Украине, признаются в обоих государствах в качестве документов, дающих право продолжить образование в средних специальных и высших учебных заведениях Российской Федерации и высших учебных заведениях Украины в соответствии с законодательством государства каждой из Сторон и на условиях, определяемых принимающим учебным заведением» (п.2 Соглашения между Правительством РФ и Кабмином Украины о взаимном признании и эквивалентности документов об образовании и ученых званиях). Полностью текст смотрите по ссылке (http://zakon4.rada.gov.ua/laws/show/643_124).

В мае 2012 года вышел новый указ, согласно которому, независимо от договоренности, российские документы об образовании, полученные после 1992 года, подлежат нотификации.

Да, есть такой момент, нострификацию придётся пройти.
«Чи потрібно проходити процедуру визнання документа про освіту, отриманого на території Російської Федерації, якщо існує Угода між Кабінетом Міністрів України і Урядом Російської Федерації про взаємне визнання та еквівалентність документів про освіту та вчені звання, підписана 26 травня 2000 року?
—
Ця міжнародна Угода визначає еквівалентність кваліфікацій, зазначених у документах про освіту, та дозволяє провести визнання за спрощеною процедурою, однак не скасовує необхідності прийняття офіційного рішення. Якщо Вам необхідне офіційне рішення щодо визнання в Україні документів про освіту, виданих навчальними закладами Російської Федерації, Вам все одно потрібно пройти процедуру визнання цих документів». ("Типові запитання" центра нострификаций).

В соответствии с п. 15 раздела VI Условий приёма
«При прийнятті на навчання осіб, які подають документ про здобутий за кордоном освітній та/або освітньо-кваліфікаційний рівень, обов’язковою є процедура визнання і встановлення еквівалентності документа про здобутий освітній та/або освітньо-кваліфікаційний рівень, що здійснюється Міністерством освіти і науки України відповідно до Порядку визнання і встановлення еквівалентності в Україні документів про освіту, виданих навчальними закладами інших держав, затвердженого наказом Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 28 травня 2012 року № 632, зареєстрованого в Міністерстві юстиції України 14 червня 2012 року за № 960/21272. Визнання і встановлення еквівалентності цих документів здійснюються ПРОТЯГОМ ПЕРШОГО РОКУ НАВЧАННЯ».

Правильно ли я поняла, что вуз должен принять документ об образовании без нострификации, а когда абитуриент станет студентом, то в процессе учебы на первом курсе, должен подтвердить эквивалентность данного документа?

В принципе, не нашёл какой-то ещё информации сверх этой. А из пункта Условий приёма я могу сделать тот же вывод, что и Вы.
(p.s. всё-таки в договоре между Россией и Украиной указано, что оба документа «дают право продолжить образование»...).
Возможно,кто-то, кто проходил это на практике, дополнит или подкорректирует меня.