Osvita.ua Вища освіта Реферати Логіка Класична логіка предикатів: основні риси та закони. Реферат
Провідні компанії та навчальні заклади Пропозиції здобуття освіти від провідних навчальних закладів України та закордону. Тільки найкращі вищі навчальні заклади, компанії, освітні курси, школи, агенції. З питань розміщення інформації звертайтесь за телефоном (044) 200-28-38.

Класична логіка предикатів: основні риси та закони. Реферат

Предикат. Логіка предикатів. Числення предикатів. Відмітні риси логіки предикатів. Закони логіки висловлень і логіки предикатів

Предикат

Предикат - в традиційній логіці один з двох термінів думки, а саме той, в якому щось мовиться про предмет мови (суб'єкт). До кінця 19 ст. у логіці суб'єкт думки, як правило, ототожнювався з граматичним підметом, а предикат - з іменною частиною граматичного присудка, що виражається, наприклад, прикметником, традиційним оглядом. Форма присудка (предикативний зв'язок) зводилася до атрибутивного зв'язку, означала, що предмету (суб'єктові) властива певна ознака.

Новий погляд характеризується узагальненням поняття "Предиката" на основі поняття особливого роду функції - логічної (або пропозиціональної) функції, значеннями якої служать вислови (або їх істинне значення - "істина" і "брехня").

Наприклад, вислову "Сократ є людина" в традиційному розумінні відповідала схема "S є Р". Якщо S і Р розглядати як змінні, що мають різні області значень: S - область "індивідуальних предметів", а Р - область "розумінь, напр., при виборі поняття "людина" як значення змінної Р отримаємо вираз "S є людина", або вираз "... є людина" (де крапки замінюють букву S), так ще, по суті, функцію від однієї змінної, яка стає висловом (приймає значення "істина" або "брехню"), коли на місце крапок (або змінній S) ставлять ім'я деякого суб'єкта (напр., "Сократ"), що грає тут звичайну роль аргументу функції. Аналогічно цьому вираз "... більше, чим..." є функція від двох змінних, а вираз "... знаходиться між... і..." - функція від трьох змінних і т. п.

В математичній логіці функції, значеннями яких служать вислови (або їх істинне значення "відмітка" і "брехня"), і називають предикат. Новий погляд на логічну структуру думки зводиться до того, що традиційні поняття предиката і суб'єкта замінюються відповідно на точні математичні поняття функції і її аргументів.

Відповідно до цього предикат визначаються на множинах (областях предметів), елементи доелементи яких служать аргументами, або значеннями відповідних змінних, нове трактування предикат додає необхідну спільність логічному міркуванню, яке об'єднує висновки не тільки силогізму, але і несилогізму, а функціональна форма запису відкриває широкі можливості для формалізації висловів будь-якій науковій теорії.

Логіка предикатів

Логіка Предикатів - або: Функціональна логіка, теорія квантифікації, логіка квантора, - основний розділ сучасної (математичної, символічної) логіки, в якому описуються виводи, що враховують внутрішню (суб'єктний-предикативну) структуру висловів. Логіка Предикатів є розширеним варіантом логіки висловів.

У Логіці Предикатів - на додаток до засобів логіки висловів - вводяться логічні оператори " ("для всіх") і $ ("для деяких" або "існує"), звані кванторами спільності і існування відповідно.

Для виявлення субъектно-предикативної структури висловів вводиться нескінченний перелік індивідних змінних: х, у, z..., х1, у1, zl..., що представляють різні об'єкти, і нескінченний перелік предикативних змінних: Р, Q, R..., Р1, Q1, Л1..., представляючої властивості і відношення об'єктів.

Індивідні змінні приймають значення в довільній (непорожній) області; разом з цими змінними можуть вводитися індивідні константи, або імена власні. Запис ("х) Р (х) означає "Всякий х володіє властивістю Р"; ($х) Р (х) - "Деякі х володіють властивістю Р"; ($x) Q (xy) - "Існує х, що знаходиться відносно Q з у" і так дальше. Індивідна змінна, що входить в область дії квантора по цій перемінній, називається зв'язаною; змінна, що не є зв'язаною, називається вільною.

Так, у всіх трьох приведених формулах змінна х зв'язана, в останній формулі перемінна у вільна. Справжньою змінною є тільки свобідна змінна: замість неї можна підставити одне з її значень і отримати осмислений вираз. Зв'язані перемінні називаються фіктивними. Формула Логіки Предикатів називається загальнозначною, якщо вона істинна в кожній інтерпретації. Тавтологія логіки висловів являється окремим випадком загальнозначної формули. У Логіки Предикатів, на відміну від логіки висловів, немає ефективного процесу, дозволяє для довільно узятої формули вирішити, є вона загальнозначна чи ні.

Числення предикатів

Числення висловлень, що розглядалось у попередніх розділах, як алгебра висловлень і як формальна (аксіоматична) теорія, є важливою і невід’ємною складовою частиною всіх числень математичної логіки. Однак воно є занадто бідним для опису та аналізу найпростіших логічних міркувань науки і практики.

Однією з причин цього є те, що у численні висловлень будь-яке просте висловлення розглядається як вихідний об’єкт дослідження, неподільне ціле, позбавлене частин і внутрішньої структури, яке має лише одну властивість - бути або істинним, або хибним.

Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити логічні міркування для виведення нетривіальних правильних висновків з урахуванням будови і змісту простих висловлень, пропонується формальна теорія, що дістала назву числення предикатів.

Теорія предикатів починається з аналізу граматичної будови простих висловлень і ґрунтується на такому висновку: прості висловлення виражають той факт, що деякі об’єкти (або окремий об’єкт) мають певні властивості, або що ці об’єкти знаходяться між собою у певному відношенні.

Наприклад, в істинному висловленні "3 є просте число" підмет "3" - це об’єкт, а присудок "є просте число" виражає деяку його властивість.

У латинській граматиці присудок називається предикатом, звідси цей термін і увійшов у математичну логіку. Головним для логіки предикатів є саме друга складова речення-висловлення - присудок-властивість. Вона фіксується, а значення об’єкта пропонується змінювати так, щоб кожен раз отримувати осмислені речення, тобто висловлення.

Наприклад, замінюючи у наведеному вище висловленні 3 на 1, 5, 9 або 12, матимемо відповідно такі висловлення: "1 є просте число", "5 є просте число", "9 є просте число", "12 є просте число", з яких друге є істинним, а решта - хибними висловленнями.

Таким чином, можна розглянути вираз "x є просте число", який не є висловленням, а є так званою пропозиційною (висловлювальною) формою. Тобто формою (або формуляром), після підстановки в яку замість параметра (змінної) x об’єктів (значень) з певної множини M, дістаємо висловлення.

Аналогічно можна трактувати, наприклад, пропозиційні форми "a є українцем", "b і c є однокурсники", "c важче d", або "точка x лежить між точками y і z". У перші дві з них можна підставляти замість параметрів a, b і c прізвища конкретних людей. У третю замість c і d назви будь-яких об’єктів (предметів), які мають вагу. Для четвертої множиною M значень змінних x, y і z є множина точок певної прямої.

Перша з цих пропозиційних форм задає, як і в наведеній раніше формі, певну властивість для об’єкта a. Інші три форми описують деякі відношення між відповідними об’єктами.

Розглянувши конкретні приклади і коротко зупинившись на мотивації та змістовній інтерпретації подальших понять, перейдемо до формальних математичних означень.

n-місним предикатом P (x1, x2,..., xn) на множині M називається довільна функція типу MnB, де B = {0,1} - бульовий (двійковий) алфавіт.

Множина M називається предметною областю, або універсальною множиною, а x1, x2,..., xn - предметними змінними, або термами предиката P.

Множина елементів (a1, a2,..., an) Mn таких, що P (a1, a2,..., an) = 1 називається областю істинності (або характеристичною множиною) предиката P.

Якщо P (a1, a2,..., an) = 1, то згідно з логічною інтерпретацією будемо говорити, що предикат P є істинним на (a1, a2,..., an). У противному разі, казатимемо, що предикат P є хибним.

Взагалі кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат, як функцію типу M1M2... MnB, дозволивши різним його аргументам приймати значення з різних множин. Іноді це буває доцільним; однак частіше в логіці предикатів використовують наведене раніше означення.

Неважко зрозуміти, що пропозиційна форма є одним зі способів задання предиката.

Для n = 1 предикат P (x) називається одномісним або унарним, для n = 2 P (x, y) - двомісним або бінарним, для n = 3 P (x, y, z) - трьохмісним або тернарним предикатом.

Очевидно, що коли в n-арному предикаті P (x1, x2,..., xn) зафіксувати деякі m змінних (тобто надати їм певних значень з множини M), то отримаємо (n-m) -місний предикат на множині M. Це дозволяє вважати висловлення нульмісними предикатами, які утворено з багатомісних предикатів підстановкою замість усіх їхніх параметрів певних значень з предметної області. Таким чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок предиката.

Для довільної множини M і довільного n існує взаємно однозначна відповідність між сукупністю всіх n-місних предикатів на M і множиною всіх n-арних відношень на M. А саме, будь-якому предикату P (x1, x2,..., xn) відповідає відношення R таке, що (a1, a2,..., an) R тоді і тільки тоді, коли P (a1, a2,..., an) = 1. Очевидно, що при цьому R є областю істинності предиката P.

Крім того, за будь-якою відповідністю C між множинами A і B (тобто CAB) можна побудувати бінарний двосортний предикат P (x, y) таким чином:

P (a, b) = 1 тоді і тільки тоді, коли (a, b) C для aA і bB.

Зокрема, будь-якій функціональній відповідності або функції f: MnM можна поставити у відповідність (n+1) - місний предикат P на M такий, що P (a1, a2,..., an, an+1) = 1 тоді і тільки тоді, коли f (a1, a2,..., an) = an+1.

Отже, такі фундаментальні математичні поняття як відповідність (зокрема, функція), відношення, висловлення можна розглядати як окремі випадки більш загального поняття предиката.

Відмітні риси логіки предикатів

Символічну логіку поділяють на логіку висловлень і логіку предикатів. Логіка предикатів ґрунтується на логіці висловлень.

Якщо логіка висловлень ігнорує структуру простих висловлень, вивчаючи тільки правильність зв'язків між ними, то логіка предикатів зосереджує свою увагу саме на структурі висловлень

У логіці предикатів розрізняють логіку предикатів першого ступеня (порядку) і логіку предикатів більш високих ступенів (порядків).

З часів Аристотеля (384 - 322 до н. е.) у логіці існує поняття "судження". Давньогрецький філософ означав його як думку, що стверджує чи заперечує що-небудь про що-небудь.

Структурно судження складається з суб'єкта, предиката й дієслова-зв'язки. Так, у судженні "Хома Брут є київський філософ" ім'я "Хома Брут" є суб'єктом (5), вираз "київський філософ" - предикатом (Р), а дієслово "є" - І зв'язкою.

Наприкінці XІX ст. математик і логік Г. Фреге піддай гострій критиці традиційне тлумачення структури судження, продемонструвавши своє критичне ставлення до цієї традиції на прикладі двох речень:

"Греки завдали поразки персам при Платеях"; "Перси були розбиті греками при Платеях".

Граматична відмінність між цими реченнями полягає у зміні активної форми ("греки завдали") на пасивну ("роя биті греками"), тобто в першому реченні суб'єктом є "греки", а в другому - "перси".

У живій мові часто буває так: те, що раніше виступало у ролі суб'єкта (підмета), відносно легко може стати предикатом (присудком), і навпаки. Але в такому разі відмінність має лінгвістичний характер, а не строго логічний. Незважаючи на це, дані речення мають одне й те саме значення істинності. У зв'язку з цим Фреге вважав, що словесний порядок, який спирається на граматичне розмежування суб'єкта й предиката, не має значення для логіки.

Необхідність переосмислити сутність іменування в логіці була зумовлена введенням Фреге понять "функція" і "аргумент". На його думку, номінативний вираз ("ім'я") можна поділити не тільки на суб'єкт й предикат, а й на функцію і аргумент, що більше відповідає логіці, яка орієнтується на математику, а не на психологію чи лінгвістику. Вчений неодноразово наголошував, що поняття "функція" і "аргумент" лише маркірують структурні особливості певного виразу, не зачіпаючи його смислового змісту.

Запропонований фрегівський погляд на процес номінації (іменування) був корисним для логіки тим, що давав змогу користуватися під час логічного аналізу теоретико-множинними уявленнями (наприклад: функція як відображення однієї множини в іншій множині), в результаті чого предикат стали розглядати як пропозиційну функцію форми F (x).

Вчення про пропозиційні функції та квантори є найважливішим внеском Фреге в сучасну логіку.

Пропозиційна функція за означенням є мовною конструкцією, яка містить змінну. Ця конструкція за підстановки будь-якого значення для даної змінної перетворюється на висловлення.

Тобто пропозиційною є така функція, яка співвідносить представників певної предметної області з областю значень істинності.

Відомо, що вираз форми F (x) (де F — властивість певного індивіда х) являє собою таку елементарну пропозиційну функцію, з якої одержують елементарне (просте) висловлення, замінивши змінну позначеннями конкретних індивідів. Наприклад: F (x) -> "х зелений" -" "трава зелена".

Отже, пропозиційна функція може стати висловленням тоді й тільки тоді, коли аргумент (змінна) набуває конкретного предметного значення. Уведення поняття "пропозиційна функція" надає математичної строгості логічному аналізові висловлень (пропозицій).

Щоб побудувати складну пропозиційну функцію, необхідно здійснити певні операції. У логіці символи цих операцій називають кванторами, а самі операції - квантифікацією пропозиційних функцій.

Хоч ідея квантифікації належить Фреге, автором термінів "квантор" і "квантифікація" є американський вчений Ч. С Пірс (1839- 1914).

Використання пропозиційних функцій і кванторів істотно спростило й прояснило методи логічного аналізу, дозволивши точно формулювати та строго доводити принципи логіки, на підставі яких одні висловлення можна коректно виводити з інших.

Здавалося б, з поняттям "предикат" у логіці покінчено раз і назавжди. Проте цей термін залишився: ним користуються, коли треба вказати на можливість логічного аналізу структури висловлень. У такому випадку термін "предикат" набув метафоричного значення. Так, у Д. Берта, американського математика й логіка С. Кліні (1909-1994) цей термін вживається для позначення пропозиційної функції.

За допомогою предикації (пропозиційної функції) здійснюється поєднання одиничного й загального термінів.

Логіки поділяють терміни на одиничні (сингулярні), загальні й порожні. Одиничний термін позначає один об'єкт, загальний - кілька об'єктів; порожній термін не позначає жодного об'єкта.

Предикацію схематично зображують так: "х є F" (у традиційній логіці це має вигляд "іS" є Р"). За допомогою символів пропозиційної функції предикацію записують! так: F (x).

Література

1. Кондаков Н. И. Введение в логику. - М.: Наука, 1967.

2. Хоменко Х. Х. Логіка - юристам. - К.: Четверта хвиля, 1997.

3. Бочаров В. А., Маркин В. Й. Основы логики. -М, 1994.

4. Жеребкін В. Є. Логіка. - Харків-К., 1999.

5. Светлов В. А. Практическая логика. - СПб., 1995.

6. Гейтманова А. Д. Учебник по логике. Москва 1995г.

7. Тофтул М. Г. Логіка. – К.: Академія, 1999.

8. Хоменко І. В., Алексюк І. А. Основи логіки. – К.: Золоті ворота, 1996.


19.10.2011

Провідні компанії та навчальні заклади Пропозиції здобуття освіти від провідних навчальних закладів України та закордону. Тільки найкращі вищі навчальні заклади, компанії, освітні курси, школи, агенції.

Щоб отримувати всі публікації
від сайту «Osvita.ua»
у Facebook — натисніть «Подобається»

Osvita.ua

Дякую,
не показуйте мені це!