Чи можуть батьки подати за мене документи до ВНЗ?

Так, безумовно. Крім того батьки можуть за дорученням і сесію здати.

Подавайте электронно. Но оригиналы придётся привезти лично. Вы сроки знали заранее, чтобы спланировать поездку. Ведь в Условиях приёма сказано "лично" подавать, а представитель не может совершать "правовые действия" (к которым, безусловно, относится и поступление, поскольку влечёт возникновение ряда прав и обязанностей), которые должны быть совершены лично (ч.2 ст. 238 Гражданского кодекса).