Имеет ли студент право снова пойти на первый курс,если он проучился в университете на бюджете два года?

Ні яких обмежень, якщо на контракт.
Що ж до можливості безоплатного навчання, то відповідь на Ваше запитання дає абзац другий частини першої статті 4 Закону України "Про вищу освіту"

Стаття 4. Право на вищу освіту

1. Кожен має право на вищу освіту.

Громадяни України мають право безоплатно ЗДОБУВАТИ вищу освіту в державних і комунальних вищих навчальних закладах на конкурсній основі відповідно до стандартів вищої освіти, ЯКЩО певний ступінь вищої освіти громадянин здобуває ВПЕРШЕ за кошти державного або місцевого бюджету.